Balancierte Stimmung

Hinweis: Dieser Text verwendet die Tonnamen C, D, E, F, G, A, B, C.

Die „Balancierte Stimmung“ ist mein Versuch verschiedene musikalische Intervalle so zu stimmen, dass eine größere Vielfalt nahezu ganzzahliger Frequenzverhältnisse entsteht.

Betrachten wir einen Dominantseptakkord in Grundstellung, z.B. mit den Tönen C, E, G und B♭, dann finden wir folgende Intervalle vor: Zwischen C und E eine große Terz, zwischen C und G eine Quinte, zwischen C und B♭ eine kleine Septime, zwischen E und G sowie zwischen G und B♭ jeweils kleine Terzen, die beide zusammen eine verminderte Quinte zwischen E und B♭ bilden. Stimmt man die die Terzen und damit auch die (nicht-verminderte) Quinte rein, d.h. mit Frequenzverhältnissen von 5:4 für die große und 6:5 für die kleine Terz, so ergibt sich fuer die zwischen E und B♭ liegende verminderte Quinte ein Frequenzverhältnis von (6:5)² = 36:25. Wohlklingender wäre an dieser Stelle allerdings die Umkehrung von Huygens' Tritonus (2 / (7:5) = 10:7). Man kann die kleinen Terzen nun derart verkleinern, dass sich der Fehler der verminderten Quinte gleichmäßig zwischen verminderter Quinte und den Terzen aufteilt. Hierzu wählen wir ein Frequenzverhältnis von cbrt(12:7) für die kleine Terz, wobei “cbrt” die 3. Wurzel darstellt. Quinte und Quarte bleiben rein, mit exakten Verhältnissen von 3:2 und 4:3. Hieraus ergibt sich dann für die große Terz ein Frequenzverhältnis von (3:2) / cbrt(12:7) = (3:2)·cbrt(7:12). Folgende Rechnung zeigt, dass die auftretenden irrationalen Verhältnisse eine Abweichung von nur 4,6 cent gegenüber den ganzzahligen Verhältnissen aufweisen:

• ld [ cbrt(12:7) / (6:5) ] * 1200 ≈ −4.598
• ld [ (3:2)·cbrt(7:12) / (5:4) ] * 1200 ≈ +4.598
• ld [ cbrt(12:7)² / (10:7) ] * 1200 ≈ +4.598

Interessanterweise kann man durch Kombination mehrerer der bisher festgelegten Intervalle eine sehr große Anzahl weiterer Intervalle bilden, die ebenfalls mit sehr guter Näherung ganzzahligen Verhältnissen entsprechen:

Einige Intervalle kommen in zwei Varianten vor, von denen die größere mit (+) und die kleinere mit (−) gekennzeichnet sind. Sie unterscheiden sich stets um das sogenannte „syntonische Komma“, welches im Falle reiner Quinten und Terzen einem Verhältnis von 81:80 entspricht. Im Falle der Balancierten Stimmung ist das Verhältnis jedoch (27:32)·cbrt(12:7). Geht man z.B. vom Grundton C aus, so ist nicht eindeutig definiert, welche Frequenz ein D hat. Welche der beiden Varianten der großen Sekunde man für das D wählen sollte ist kontextabhängig: Sollen beispielsweise die Töne C, D und G zusammen erklingen, so sollte man die (+)-Variante der großen Sekunde wählen, da so zwischen D und G eine korrekte Quarte entsteht. Sollen hingegen die Töne C, D und F zusammen erklingen, dann sollte man die (−)-Variante der großen Sekunde wählen, damit zwischen D und F die korrekte kleine Terz entsteht.

Da alle Intervalle in obenstehender Liste abgesehen von der Oktave ausschließlich auf die Quinte und die kleine Terz zurückzuführen sind, kann man zur besseren Übersicht alle Intervalle in einem 2-dimensionalen Gitter anordnen. Die Quinte wird als ein Schritt nach rechts, die Quarte als ein Schritt nach links, die kleine Terz als ein Schritt nach unten, und die große Sexte als ein Schritt nach oben dargestellt. Oktaven werden nach Notwendigkeit hinzugefügt. Exemplarisch wurden in untenstehender Tabelle die Tonbezeichnungen ausgehend von C dargestellt.

Mit Hilfe dieser Darstellung läßt sich einfacher erkennen, welche Intervalle zueinander passen: Zu einem Dur-Akkord (z.B. in obiger Darstellung C-Dur), passt z.B. die übermäßige Sexte vom Grundton: Von E nach A♯ geht man im Raster zwei Schritte nach oben. Dies entspricht (von der Prime aus betrachtet) einer übermäßigen Quarte. Von G nach A♯ geht man drei Schritte nach oben, entsprechend einer übermäßigen Sekunde. Als Beispiel für ein nicht zum C-Dur Akkord passenden Ton kann man die verminderte Quinte vom Grundton aus nehmen (G♭). Von G nach G♭ sind es nämlich zwei Schritte nach unten sowie einer nach rechts. Von der Prime aus betrachtet landet man, wenn man die selben Schritte nachvollzieht auf einem leeren Feld, was bedeutet, dass zwischen G und G♭ kein in obenstehender Intervallliste vorkommendes Intervall entsteht.

Dieses Hilfsmittel kann man dafür verwenden, eine erweiterte auf C-Dur basierte Tonleiter zu erzeugen. Es ergeben sich folgende Töne: C, D♭, D, D♯, E, F, F♯, G, A♭, A, A♯, B♭, B und C; wobei für D♭, D, B♭ und B die (+)-Varianten der kleinen und großen Sekunden und Septimen vom Grundton aus zu verwenden sind. Diese aus 13 Schritten bestehende Tonleiter steht in einem herunterladbarem Soundfile zum anhören bereit.

Die Menge an Tönen bzw. Intervallen schränken die Verwendungsfähigkeit der „Balancierten Stimmung“ auf einem Musikinstrument wie dem Klavier erheblich ein; je Oktave werden wesentlich mehr Tasten benötigt, als es auf einem Klavier der Fall ist. Dennoch könnte die Balancierte Stimmung für mikrotonale elektronische Musik von Interesse sein.

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