Hochzusammengesetzte Zahlen

Während Primzahlen jene Zahlen sind, die sich durch keine Zahl außer durch sich selbst oder 1 (restfrei) teilen lassen, stellen hochzusammengesetzte Zahlen sozusagen das Gegenteil dar: Sie haben gemessen an ihrer Größe sehr viele Teiler. Die ersten 50 hochzusammengesetzten Zahlen sind:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400, 55440, 83160, 110880, 166320, 221760, 277200, 332640, 498960, 554400, 665280, 720720, 1081080, 1441440, 2162160, 2882880, 3603600, 4324320, 6486480, 7207200, 8648640, 10810800, 14414400, 17297280, ...

In der Online-Enzyklopädie für Ganzzahlfolgen sind die hochzusammengesetzten Zahlen unter der Kennnummer A002182 verzeichnet. Mathematisch lassen sich diese Zahlen wie folgt definieren: Eine Zahl ist genau dann hochzusammengesetzt, wenn sie mehr Teiler hat, als jeweils alle kleineren Zahlen Teiler haben. Die Zahl 12 ist beispielsweise hochzusammengesetzt, weil sie 6 Teiler hat (1, 2, 3, 4, 6, 12) und jede der Zahlen von 1 bis 11 weniger als 6 Teiler besitzt.

Es wäre schön eine Folge von "gut teilbaren" Zahlen zu kennen, die keine allzugroßen Lücken aufweist, d.h. bei der die nächst größere Zahl z.B. maximal um 50% größer ist, als die vorhergehende. Tatsächlich lässt sich beweisen, dass eine hochzusammengesetzte Zahl geteilt durch die nächst kleinere hochzusammengesetzte Zahl bis auf folgende Ausnahmen maximal 3/2 ergibt:

• auf 1 folgt 2
• auf 2 folgt 4
• auf 6 folgt 12
• auf 12 folgt 24
• auf 60 folgt 120
• auf 360 folgt 720
• auf 2520 folgt 5040
• auf 27720 folgt 45360 (Verhältnis von 18/11)

Gut teilbare Zahlen

Man kann (mehr oder weniger willkürlich) folgende Regeln definieren, um 7 der 8 obenstehenden Lücken zu füllen:

• Man verwendet zum Füllen nur Zahlen, die genausoviele Teiler aufweisen, wie die nächst kleinere hochzusammengesetzte Zahl.
• Falls möglich werden zum Füllen einer Lücke nur Zahlen verwendet, die das doppelte einer hochzusammengesetzten Zahl sind. Für die Lücken zwischen 2 und 4, sowie zwischen 12 und 24 lässt sich diese Regel nicht anwenden, da ansonsten keine Zahl mit ausreichend vielen Teilern die jeweilige Lücke füllen könnte.
• Kleine Zahlen werden gegenüber größeren Zahlen mit gleichvielen Teilern bevorzugt.
• Es werden unter Beachtung der vorhergenannten Regeln so wenig Zahlen wie möglich eingefügt, um alle Lücken, die größer als 3/2 sind, zu schließen.

Aus diesen Regeln ergeben sich eindeutig die zusätzlichen Zahlen 3, 8, 18, 72, 96, 480, 3360, 30240. Die neue Folge von gut teilbaren Zahlen (well dividable numbers) ist dann:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 48, 60, 72, 96, 120, 180, 240, 360, 480, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 3360, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 30240, 45360, 50400, 55440, 83160, 110880, 166320, 221760, 277200, 332640, 498960, 554400, 665280, 720720, 1081080, 1441440, 2162160, 2882880, ...

In dieser Folge gibt es (abgesehen von der 2, welche auf die 1 folgt) niemals Lücken die einem Verhältnis größer 3/2 entsprechen.

Die oben konstruierten "gut teilbaren" Zahlen lassen sich nun beispielsweise verwenden, um Grafikauflösungen (Pixelbreite × -höhe) zu berechnen, die gut teilbar sind, und sich somit besonders häufig ohne Rundungsfehler skalieren lassen.

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